[Paraplot]
ldickef=1
ldickeg=1
ldickeh=1
wmass=1
autoi=0
anzx=499
anzt=499
startx=0
starty=0
stepx=.5
stepy=.5
hminx=10
hminy=10
hmaxx=40
hmaxy=40
kommax=2
kommay=2
zoomx=1.5
zoomy=1.5
astil=2
fontz=12
fontxy=16
calc=3
helpcol=220
fcol=16732240
gcol=2662400
hcol=255
acol=0
anzxf=213
anzxg=154
anzxh=658
anzt1=499
anzt2=499
ltyp1=0
ltyp2=0
ltyp3= 0

[Funktionenplotter]
{short:Einfachste Beispiele
long:Dieses Beispiel zeigt die Graphen einer konstanten, einer linearen und einer ganzrationalen Funktion. Alle drei gehren zur Familie der sogenannten ganzrationalen Funktionen.

Den Graphen kann man vergrern oder verkleinern, indem man das kleine Lupensymbol unten rechts mit der linken oder rechten Maustaste anklickt. Oder aber man hlt STRG und Alt gedrckt und klickt in die Zeichnung.\end\
f(x)=3.5
g(x)=2/3 * x - 3
h(x)=(x-3)*(x+2)
x[-14,2;15,7]
y[-16,4;17,48]}
{short:Logarithmusfunktion
long:Da die Logarithmusfunktion nur im Positiven definiert ist, wird die Berechnung leider etwas langsamer, wenn man den dargestellten Bereich so whlt, dass zu viele verbotene Stellen berechnet werden mssen.

hnliches passiert auch bei Wurzelfunktionen.\end\
f(x)=log(a*x; 2)
g(x)=
h(x)=
a=2
x[-0,92;7,9]
y[-4,47;5,55]
Df[0;]}
{short:Exponentialfunktion
long:Den Term der Exponentialfunktion kann man auf 2 Arten eingeben:

f(x)=exp(x; 2)           (Basis 2, Exponent x)

oder

f(x)=2^x\end\
f(x)=exp(a*x; 2)
g(x)=0.5^(a*x)
h(x)=
a=2
a[-10;10]
x[-5,7;3,14]
y[-0,86;9,1]}
{short:Winkelfunktionen
long:Hier kann man hier die Rolle der Amplitude, der Frequenz und der Phasenverschiebung beobachten.

Auerdem sieht man, wie man einen Funktionsgraphen verschieben kann.

Arbeitet man mit Winkelfunktionen, knnte man in den Einstellungen die Schrittweite der x-Hilfslininen auf pi stellen.\end\
f(x)=amplitude*sin(frequenz*x-phase)
g(x)=f(x-x1)+x2
h(x)=
amplitude=1
frequenz=1
phase=1
x1=1
x2=1
amplitude[-10;10]
frequenz[-10;10]
phase[-10;10]
x1[-10;10]
x2[-10;10]
x[-7,9817;11,9083]
y[-5,0432;4,9168]}
{short:Verkettung von Funktionen
long:Dass eine Funktion die Umkehrfunktion einer anderen ist, erkennt man daran, dass ihre Verkettung stets x ergibt:

f( g(x) )=x\end\
f(x)=x^2
g(x)=wurzel(x)
h(x)=f(g(x))
x[-2,07;6,7]
y[-0,99;8,61]
Dg[0;]
Dh[0;]}
{short:Bedeutung der Schreibweise
long:Die in vielen Bchern bliche Schreibweise

sin^4(x) entspricht offiziell NICHT

(sin (x))^4,

sondern sin( sin( sin( sin(x)))). Paraplot versteht sin^4(x) NICHT!

Graphisch ist der Unterschied deutlich zu erkennen. Sehr interessant ist hier der Einfluss von a!!!\end\
f(x)=sin(a*x)
g(x)=f( f( f( f(x) ) ) )
h(x)=f(x)^4 (aus)
a=1
x[-7,02098416289593;12,8915158371041]
y[-4,65191134485349;4,96273929376409]}
{short:Ganzrationale Funktion mit 5 Parametern
long:Der Graph dieser Funktion schneidet die x-Achse offenbar bis zu 5 mal. Die x-Werte, bei denen das passiert, nennt man "Nullstellen".

Da der Funktionsterm nur aus Faktoren besteht, findet man schnell heraus, wie die Nullstellen mit den darin vorkommenden Parametern x1 bis x5 zusammenhngen.

Mit der Taste F12 erhlt man eine Liste aller vorkommenden Parameter. In dieser whlt man die Parameter aus, die man ndern mchte.\end\
Punkte=N1(x1;0):0:0:18
N2(x2;0):0:0:18
N3(x3;0):0:0:18
N4(x4;0):0:0:18
N5(x5;0):0:0:18\end\
f(x)=a*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)
g(x)=
h(x)=
a=0,5
x1=-2
x2=-1
x3=0
x4=1
x5=2
a[-10;10]
x1[-10;10]
x2[-10;10]
x3[-10;10]
x4[-10;10]
x5[-10;10]
x[-4,38;4,47]
y[-4,47;5,55]}
{short:Senkrechte Hilfslinien
long:Mit Hilfe von senkrechten gestrichelten Linien werden nun die Nullstellen hervorgehoben.

Das Fenster zur Eingabe der Hilfslinien erhlt man mit der Taste F6. Senkrechte Hilfslinien gibt man in der Form

x=gewnschte Stelle

ein. Anschlieend die Eingabetaste drcken oder die "bernehmen"-Schaltflche anklicken.\end\
asy=c=5242960:x=x1
c=5242960:x=x2
c=5242960:x=x3
c=5242960:x=x4
c=5242960:x=x5\end\
Punkte=N1(x1;0):0:0:18
N2(x2;0):0:0:18
N3(x3;0):0:0:18
N4(x4;0):0:0:18
N5(x5;0):0:0:18\end\
f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)
g(x)=
h(x)=
x1=-2
x2=-1
x3=0
x4=1
x5=2
x1[-10;10]
x2[-10;10]
x3[-10;10]
x4[-10;10]
x5[-10;10]
x[-4,38;4,47]
y[-4,47;5,55]}
{short:Waagrechte Hilfslinien
long:Hier wird der Graph der Sinusfunktion dargstellt.

Um die neuen Parameter verndern zu knnen, kann man auch die Tasten Shift + F12 drcken - dann erscheinen nmlich gleich alle ntigen Schieberegler.

Die waagrechten gestrichelten Geraden werden im gleichen Fenster wie die senkrechten Geraden eingegeben (Taste F6 drcken).

Eingabeformat:    y=gewnschte Hhe\end\
asy=c=5242960:y=a
c=5242960:y=-a\end\
f(x)=a*sin(b*x+c)
g(x)=
h(x)=
a=1
b=1
c=1
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
x[-4,38;4,47]
y[-4,47;5,55]}
{short:Schrge Hilfslinien
long:Schrge Hilfslinien sind nichts anderes als Graphen von linearen Funktionen. Solche haben die Funktionsgleichung

y=m * x + t

Dabei beschreibt m die "Steigung" und t den "y-Achsenabschnitt" der Geraden.

Genau so gibt man sie auch im Geradenfenster (F6 drcken) ein.\end\
asy=c=5242960:y=m*x+t\end\
f(x)=sin(m*x)+t
g(x)=
h(x)=
m=1
t=1
m[-10;10]
t[-10;10]
x[-4,38;4,47]
y[-4,47;5,55]}
{short:Zusammengesetzte Funktionen
long:Zusammengesetzte Funktionen kann man mit Hilfe der WENN-Funktion eingeben. Sie erfordert zuerst die Angabe einer Bedingung (hier x<a). Danach muss man zwei Terme angeben: solange die Bedingung erfllt ist, gilt der erste Term, andernfalls der zweite.

Aus programmtechnischen Grnden verbindet Paraplot die beiden Teilgraphen, obwohl der Graph dort ja eigentlich wirklich einen Sprung machen msste. Deshalb bermale ich diese Verbindung hier einfach mit 2 senkrechten weien Asymptoten (eine Notlsung).\end\
asy=c=16777215:x=a:2
c=16777215:x=a-0,01:2\end\
Punkte=(a;b):0:0:18
(a;a^2):0:0:18\end\
f(x)=wenn(x<a; x^2; m * (x-a)+b)
g(x)=
h(x)=
m=-0,5
a=0,75
b=3
m[-10;10]
a[-10;10]
b[-10;10]
x[-4,38;4,47]
y[-4,47;5,55]}
{short:Ableitung und Tangente
long:Die Steigung eines Funktionsgraphen wird durch die Steigung der Tangenten an der gewnschten Stelle definiert.

Ein Tangente kann man auch im Geradenfenster definieren. Dazu verwendet man die Geradengleichung fr eine Gerade durch den Punkt (x0; f(x0)) in der Form
y=m * (x - x0) + f(x0), wobei man fr die Steigung m einfach die bentigte Steigung f'(x0) verwendet (Taste F6 drcken, und auch mal F12, um den Parameter x0 variieren zu knnen).\end\
asy=c=255:y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0):0
c=9408399:x=x0
c=0:y=f(x0)\end\
Punkte=(x0;f(x0)):0:0:18\end\
f(x)=d*(x-a)*(x-b)*(x-c)
g(x)=f'(x)
h(x)=sin(x)
anzf=500
anzg=500
anzh=500
d=0,08
a=-7,02
b=6,28
c=-0,08
x0=3,66515837104072
anzf[2;1002]
anzg[2;1002]
anzh[2;1002]
d[-10;10]
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
x0[-10;10]
x[-11,25;11,25]
y[-11,25;11,25]}
{short:Gerade durch 2 Punkte
long:Lsst man die x-Werte zweier Graphenpunkte aufeinander zulaufen, so nhern sich folglich auch die Punkte einander an.

Die Gerade durch beide Punkte nhert sich dabei immer mehr der Tangenten durch einen Punkt.

Das Punktefenster erhlt man mit der Taste F7.\end\
asy=c=5242960:y=( f(xp)-f(xq) ) / (xp - xq) *(x-xp) + f(xp)\end\
Punkte=P(xp;f(xp)):0:-16:13
Q(xq;f(xq)):0:5:1\end\
f(x)=a*x^2+b*x+c
g(x)=
h(x)=
anzf=500
anzg=500
anzh=500
xp=-2
a=1
b=1
c=1
xq=2
anzf[2;1002]
anzg[2;1002]
anzh[2;1002]
xp[-10;10]
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
xq[-10;10]
x[-11,0034841628959;8,90901583710409]
y[-7,41612340345605;14,2168405334335]}
{short:Koppelung von Parameter und Maus
long:Ist im Hauptmen bei den Einstellungen die "Parameterkopplung" eingeschaltet, so kann man mit der rechten Maustaste den zuletzt angwhlten Parameter steuern. In diesem Beispiel ist das sehr praktisch fr x0.\end\
asy=c=255:y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0):0
c=9408399:x=x0\end\
Punkte=B(x0;f(x0)):0:5:3\end\
f(x)=d*(x-a)*(x-b)*(x-c)*sin(x*v)
g(x)=
h(x)=
d=0,08
a=-7,02
b=6,28
c=-0,08
v=1
x0=4,18
d[-10;10]
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
v[-10;10]
x0[-10;10]
x[-11,25;11,25]
y[-11,25;11,25]}
{short:Integralfunktionen
long:Eine Funktion g(x), die den Flcheninhalt zwischen x-Achse und Graph (mit linker Begrenzung bei x0 und rechter Begrenzung bei x) beschreibt, heit Integralfunktion.

Ihr Graph hngt von der linken Grenze x0 ab. Um diese zu ndern, muss man erst mal F9 drcken, um den zuhrigen Schieberegler zu erhalten. Sie kann ber die vordefinierten Parameter ug, uh oder uf auch fr Hilfslininen verwendet werden!\end\
asy=c=5242960:x=uh
c=5242960:x=x0\end\
f(x)=a*x*x+b*x+c
g(x)=fill( f(x) )
h(x)=integral( f(x) )
$g2$
dichte=50
a=0,52
b=1,64
c=-4,7
x0=-6
dichte[25;1025]
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
x0[-10;10]
x[-13,79;8,7]
y[-20,3;34,64]
Dg[uh;x0]
uh=-9,00705882352941}
{short:Flchen zwischen 2 Graphen
long:Gelegentlich ist es von Interesse, Flchen zwischen Funktionsgraphen zu schraffieren. Paraplot verwendet hierfr die Funktion fill( x ), welche zwischen 0 und x hinundherspringt, wobei die Frequenz im Parameter "dichte" gespeichert ist. Mit etwas Geduld findet man dafr auch eine Zahl, bei der die Flche vollstndig ausgefllt ist.\end\
asy=c=5242960:x=von
c=5242960:x=bis
c=5242960:y=m*x+t\end\
f(x)=a*x^2
g(x)=m*x+t
h(x)=(x>von und x <bis) * fill ( f(x)-g(x) ) + g(x)
dichte=237
a=1
m=1
t=1
von=-3
bis=3
dichte[25;1025]
a[-10;10]
m[-10;10]
von[-10;10]
bis[-10;10]
t[-10;10]
x[-6,5925;6,6825]
y[-3,96900000000001;11,061]}
{short:Fehlermeldungen
long:Das Programm erkennt einige fehlerhafte Eingaben. Um das Eingabefeld "Intervalle zu sehen, muss die "erweiterte Ansicht" des Sammlungsfensters aktiviert sein.\end\
f(x)=x^2*ccos(x)
g(x)=((x+1*sin(x)^2
h(x)=
x[-7; -10]}
{short:Mit Paraplot leider nicht mglich...
long:Mit Paraplot kann man nicht:

- Integralfunktionen ableiten oder weiterverarbeiten, nicht einmal im Taschenrechner (F4 drcken).\end\
f(x)=integral( x^2 )
g(x)=h(x+1)
h(x)=f'(x)
x[-7,02098416289593;12,8915158371041]
y[-4,65191134485349;4,96273929376409]
uf=4,21958371040724}
{short:Einschrnkung des Darstellungsbereichs
long:Die untere und obere Grenze des Darstellungsbereichs kann eingeschrnkt werden. Oft verlangen Aufgaben nur eine Darstellung in einem vorgegebenen Intervall.

Achtung:

Ableitungs- und Integralfunktionen werden nicht automatisch miteingeschrnkt!!!\end\
asy=c=5242960:y=a
c=5242960:y=-a\end\
f(x)=a*sin(b*x+c)
g(x)=f'(x) (aus)
h(x)=integral(f(x)) (aus)
a=1
b=1
c=1
u=-2,62
o=3,52
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
u[-10;10]
o[-10;10]
x[-4,38;4,47]
y[-4,47;5,55]
Df[u;o]
uh=4,49999999999999E-02}
{short:Wurzel und Logarithmus
long:Da die Logarithmusfunktion nur im Positiven definiert ist, wird die Berechnung leider etwas langsamer, wenn man den dargestellten Bereich so whlt, dass zu viele verbotene Stellen berechnet werden mssen.

hnliches passiert auch bei Wurzelfunktionen. Hier darf der Term unter der Wurzel keinen negativen Wert annehmen.

Fr beide Funktionen empfiehlt sich eine Einschrnkung ihres Darstellungsbereichs (F8 drcken!)\end\
asy=c=5242960:x=b:2\end\
f(x)=log(a*(x-b); 2)
g(x)=wurzel(b-x)
h(x)=
a=2
x[-0,92;7,9]
y[-4,47;5,55]
Df[b;]
Dg[;b]}
{short:Zusammengesetzte Funktionen
long:Zusammengesetzte Funktionen kann man mit Hilfe der WENN-Funktion eingeben. Sie erfordert zuerst die Angabe einer Bedingung (hier x<a). Danach muss man zwei Terme angeben: solange die Bedingung erfllt ist, gilt der erste Term, andernfalls der zweite.

Aus programmtechnischen Grnden verbindet Paraplot die beiden Teilgraphen, obwohl der Graph dort ja eigentlich wirklich einen Sprung machen msste. Deshalb bermale ich diese Verbindung hier einfach mit 2 senkrechten weien Asymptoten (eine Notlsung).\end\
asy=c=16777215:x=a:2
c=16777215:x=a-0,01:2\end\
Punkte=(a;b):0:0:18
(a;a^2):0:0:18\end\
f(x)=wenn(x<a; x^2; m * (x-a)+b)
g(x)=
h(x)=
a=0,75
m=-0,5
b=3
x[-4,38;4,47]
y[-4,47;5,55]}
{short:Andere Methode zum Zusammensetzen
long:Hier werden 2 Funktionen definiert, deren Darstellungsbereiche sich in einem Punkt berhren.

Diese graphische Einschrnkung kann man im Intervallfenster einstellen (F8 drcken). Ein leerer Eintrag legt fest, dass KEINE Einschrnkung gemacht wird.

Fr die Grenzen drfen auch Parameter verwendet werden.\end\
asy=c=5242960:x=x1:2
c=5242960:x=x1+2:2\end\
f(x)=a*sin(b*x+c)
g(x)=f(x1)+cos(b*x)
h(x)=a*(x-b)^2
a=1
b=1
c=1
x1=-1
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
x1[-10;10]
x[-12,38;4]
y[-4,47;5,55]
Df[;x1]
Dg[x1;x1+2]
Dh[x1+2;]}
{short:Integralfunktionen
long:Eine Funktion g(x), die den Flcheninhalt zwischen x-Achse und Graph (mit linker Begrenzung bei x0 und rechter Begrenzung bei x) beschreibt, heit Integralfunktion.

Hier verwende ich die Einschrnkung fr die schraffierende Funktion h, so dass nicht lnger die x-Achse rot gezeichnet wird.\end\
asy=c=5242960:x=ug
c=5242960:x=x0\end\
f(x)=a*x*x+b*x+c
g(x)=integral( f(x) )
h(x)=(abs(x- (ug+x0)/2)<abs((ug-x0)/2)) * fill ( f(x) )
$g2$
a=0,52
b=1,64
c=-4,7
x0=-6
dichte=25
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
x0[-10;10]
dichte[25;1025]
x[-13,79;8,7]
y[-20,3;34,64]
Dh[ug;x0]
ug=-8}
{short:Flchen zwischen 2 Graphen
long:Gelegentlich ist es von Interesse, Flchen zwischen Funktionsgraphen zu schraffieren. Paraplot verwendet hierfr die Funktion fill( x ), welche zwischen 0 und x hinundherspringt, wobei die Frequenz im Parameter "dichte" gespeichert ist. Mit etwas Geduld findet man dafr auch eine Zahl, bei der die Flche vollstndig ausgefllt ist.\end\
asy=c=5242960:x=von
c=5242960:x=bis
c=5242960:y=m*x+t\end\
f(x)=a*x^2
g(x)=m*x+t
h(x)=fill ( f(x)-g(x) ) + g(x)
a=1
m=0,61564479638009
t=1
von=-1,87717194570136
bis=3
dichte=237
a[-10;10]
m[-10;10]
von[-10;10]
bis[-10;10]
dichte[25;1025]
t[-10;10]
x[-6,5925;6,6825]
y[-3,96900000000001;11,061]
Dh[von;bis]}
{short:Gerade durch 2 Punkte
long:Das Fenster fr die Punkte erhlt man mit F7.

Die Darstellung der Punkte kann man im Punktefenster ein- und ausschalten.

Um die Position der Punktenamen zu verndern, whlt man einen Punkt im Punktefenster an, klickt auf den Graphen, und bettigt die Nummerfeld-Pfeiltasten! Anschlieend auf bernehmen klicken.\end\
asy=c=16384:y=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0) * (x-x0) + f(x0)\end\
Punkte=B(x0;f(x0)):8421376:-17:16
A(x1;f(x1)):33023:3:0\end\
f(x)=a*x^2
g(x)=
h(x)=
a=0,74
x1=2,54
x0=-2,16
a[-10;10]
x1[-10;10]
x0[-10;10]
x[-10;10]
y[-10,8640120210368;10,8640120210368]}
{short:Scheitelpunkt der Parabel
long:Auch lngere Namen sind fr Punkte erlaubt, oder aber Punkte ohne Namen.

\end\
Punkte=(-b/(2a);f(-b/(2a))):0:0:18
Scheitel(xs;ys):0:0:18\end\
f(x)=a*x^2+b*x+c
g(x)=p*(x-xs)^2+ys
h(x)=
a=0,5
b=2
c=-3
p=1
xs=1
ys=1
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
p[-10;10]
xs[-10;10]
ys[-10;10]
x[-10;10]
y[-10,8640120210368;10,8640120210368]}
{short:Sple
long:Round and round and round....\end\
Punkte=R(r*cos(x0);r*sin(x0)):32768:0:18
O(r*cos(x0+1);r*sin(x0+1)):255:0:18
U(r*cos(x0+2);r*sin(x0+2)):10485760:0:18
N(r*cos(x0+3);r*sin(x0+3)):33023:0:18
D(r*cos(x0+4); r*sin(x0+4)):8388863:0:18\end\
f(x)=
g(x)=
h(x)=
r=2
x0=20
r[-10;10]
x0[-10;20]
x[-10;10]
y[-10,8640120210368;10,8640120210368]}
{short:Asymptoten
long:Mit F11 erhlt man das Zusatzgeradenfenster.\end\
asy=c=5242960:x=a
c=5242960:x=b
c=5242960:y=a+x-4+b\end\
f(x)=(x-1)^2*(x-2)/(x-a)/(x-b)
g(x)=
h(x)=
a=-1,34
b=4,26
a[-10;10]
b[-10;10]
x[-14,2760180664062;15,7239819335938]
y[-16,4178357971191;17,4821642028809]}
{short:Dreieck1
long:Durch geschickte Begrenzung kann man ein Dreieck zeichnen lassen.\end\
Punkte=A( (t2-t1)/(m1-m2); f((t2-t1)/(m1-m2))):0:0:30
B( (t1-t3)/(m3-m1); h((t1-t3)/(m3-m1))):0:0:30
C( (t2-t3)/(m3-m2); g((t2-t3)/(m3-m2))):0:0:30\end\
f(x)=m1*x+t1
g(x)=m2*x+t2
h(x)=m3*x+t3
m1=0,08
t1=1,2
m2=-0,98
t2=-1,72
m3=1
t3=-4,94
m1[-10;10]
t1[-10;10]
m2[-10;10]
t2[-10;10]
m3[-10;10]
t3[-10;10]
x[-7,9817;11,9083]
y[-5,0432;4,9168]
Df[(t2-t1)/(m1-m2);(t1-t3)/(m3-m1)]
Dg[(t2-t1)/(m1-m2);(t2-t3)/(m3-m2)]
Dh[(t2-t3)/(m3-m2);(t1-t3)/(m3-m1)]}
{short:Dreieck2
long:Bei diesem Dreieck sind die 3 Geradengleichungen durch die 3 Eckpunkt-Koordinaten dargestellt worden.\end\
Punkte=A(ax; ay):0:0:30
B(bx; by):0:0:30
C(cx; cy):0:0:30\end\
f(x)=(ay-by)/(ax-bx)*(x-ax)+ay
g(x)=(by-cy)/(bx-cx)*(x-bx)+by
h(x)=(ay-cy)/(ax-cx)*(x-cx)+cy
ay=-0,64
by=3,92
ax=5,02
bx=3,945
cy=-1,68
cx=-3,8
ay[-10;10]
by[-10;10]
ax[-10;10]
bx[-10;10]
cy[-10;10]
cx[-10;10]
x[-7,98;11,91]
y[-5,04;4,92]
Df[ax;bx]
Dg[bx;cx]
Dh[cx;ax]}
{short:Reihenfolge ist egal
long:Die Reihenfolge der Defintionen ist egal. Sie muss allerdings sinnvoll sein.

Hier muss offenbar g(x) zuerst definiert werden. Paraplot erkennt das, und macht es auch so.\end\
f(x)=g(x+1)
g(x)=sin(x)
h(x)=2*g(x)+2
anzf=214
anzg=155
anzh=659
anzf[2;1002]
anzg[2;1002]
anzh[2;1002]
x[-10;10]
y[-11,1795642374155;11,1795642374155]}

[Kurvenplotter]
{short:Spirograph
long:Diese Funktionen erzeugen eine Linie, die man erhalten wrde, wenn man eine Kreisscheibe, innerhalb oder auerhalb einer 2. Kreislinie abrollen wrde.
\end\
x(t)=(a-b)*cos(t*c)+d*cos(-a/b*c*t+c*t)
y1(t)=(a-b)*sin(t*c)+d*sin(-a/b*c*t+c*t)
a=1
b=2
c=3
d=4
x[-6;5]
y[-6;7]
t[0;40]}
{short:Lissajour-Figuren
long:a=Frequenz in x-Richtung
b=Radius in x-Richtung
c=Frequenz in y-Richtung
d=Radius in y-Richtung\end\
x(t)=sin(a*t)*b
y1(t)=cos(c*t)*d
a=1
b=2
c=3
d=4
a[-10;10]
b[-10;10]
c[-10;10]
d[-10;10]
x[-6;5]
y[-6;7]
t[0;10]}
